CONTRÔLE FINAL Année 2005/2006

MASTER AERONAUTIQUE & ESPACE

Mécanique spatiale

Qualité de la rédaction et pertinence des réponses ( 1 point éventuel de bonus). Parties I II III indépendantes. Note sur 20 points à choisir sur les 25 points proposés .

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Données pour toute l'épreuve:

TERRE : mT = 39.86 104 km3/s-2 , RT= 6378 km Terre , TT = 86164.1 s

PERIODE Terre/Soleil = 365.25 jours, SOLEIL : mS =13.27 1010 km3/s-2

lg( t = 07/11/2005 14 h 52 mn 24 s ) = 270°

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 EXERCICE I (10 pts)

Retour d'une mission interplanetaire martienne:

mM = 4.305 104 km3/s-2 , RM= 3393 km pour Mars.

Terre et Mars sont supposées en orbite circulaire écliptique, de rayon moyen 150 106 km pour la Terre et 228 106 km pour Mars.

Nous sommes en 2020 et une station spatiale a été assemblée à 207 km du sol martien, elle orbite en circulaire, dans un plan confondu avec l'écliptique.

1°) A titre indicatif donner la durée en jours d'un voyage héliocentrique de type Hohmann Mars-Terre?

2°) Ce temps paraît trop long et le problème propose d'étudier la possibilité ou non de revenir en 120 jours. Un calcul ( qui ne peut être réalisé en contrôle et que vous admettrez) donne le demi-grand axe a = 148.496 106 km de l'orbite empruntée

a) Faire une figure simple ( Orbite de Mars, de la Terre et celle du véhicule ) et vérifier la durée effective du retour en 120 jours. NB : Cette vérification réussie permettra de poursuivre les calculs sans souci.

2°) a) Comment doivent être orientées la vitesse infinie de sortie de la sphère d'influence de Mars et la vitesse héliocentrique de Mars, pour optimiser l'opération?

Calculer la vitesse héliocentrique Vs1 au sortir de la sphère d'influence de Mars.

Déduire alors la vitesse à l'infini de départ ou encore la constante C3M.

b) Quel est l'incrément de vitesse DV1 qu'il a fallu fournir pour l'évasion martienne à 207 km.

3°) Donner l'angle Terre - Soleil - Mars à respecter, au moment du tir au départ de Mars, pour que le rendez-vous avec la Terre puisse se réaliser à la première occurrence après 120 jours de vol.

4°) QUESTION IMPORTANTE :

a) Calculer la vitesse infinie d'arrivée sur la Terre. Donner alors la constante C3T

b) Le retour se termine par une rentrée atmosphérique à 120 km du sol terrestre. Elle doit se faire à 11 km/s, comme pour une cabine Apollo. Vérifier alors qu'un "coup de frein" est nécessaire avec un incrément de vitesse DV2 = 8900 m/s. Commentaires.

5°) TREMPLIN INVOLONTAIRE : (NB : La question 4°a doit avoir été résolue)

Imaginons que, suite à un incident, le freinage ne puisse avoir lieu et que la cabine passe au périgée à 150 km frôlant les couches atmosphériques supérieures sans pouvoir rentrer. Un tremplin est alors en cours.

Calculer la norme de l'effet tremplin DV communiqué par la Terre.

6°) CALCUL DU MOTEUR : NB : indépendante de tout le problème

On choisit de freiner de DV = 8900 m/s, avec un seul moteur de caractéristiques excellentes ( w = 0.1 et Isp = 4500 m/s pour LH2+LO2 ).

On appelle M la masse de la capsule seule, Mp la masse des ergols nécessaires, Mo celle du moteur et M* la masse totale capsule plus moteur. l désigne le rapport de masse associé au moteur.

Calculer Mp/M, puis Mo/M puis M*/M en fonction des variables l et w

Application numérique : Avec une capsule de 5 tonnes. Commentaires.

 

II A PROPOS D'UN SATELLITE GEOSYNCHRONE (5.5 points)

Cet exercice est destiné à vérifier ( sur un cas simple ) la bonne compréhension des paramètres orbitaux et du positionnement du satellite en repère géocentrique équatorial IJK.

Un satellite géosynchrone équatorial a pour paramètres orbitaux a = 42164 km, e = 0.697467, i = 0°, ( w = 0° W = 270° pour fixer les idées ) , tp = 7/11/2005 14 h 52 mn 24 s

1°) a) Vérifier que l'orbite est bien géosynchrone. Calculer Rp et Ra les rayons vecteurs à l'apogée et au périgée.

b) Placer sur un schéma sensiblement à l'échelle, dans le plan équatorial: NB vous trouverez des positions bien particulières, ne soyez pas étonnés

La Terre

 

Les axes du géocentrique I et J

La ligne des nœuds et les vecteurs périfocaux P et Q

Le périgée P, l'apogée A, l'orbite C

 

Un rayon vecteur R = OSo, l'angle polaire q correspondant à l'anomalie excentrique j = 77°289

q

Le méridien de Greenwich au temps tp.

Xg

 

2°) Pour la position repérée par j = 77°289 calculer par la loi des aires la vitesse angulaire dq/dt autour de l'axe Nord-Sud et comparer la à la vitesse angulaire de la Terre. Commentaire.

Calculer le temps mis depuis le périgée, pour rejoindre cette position So.

En déduire la longitude Greenwich de So.

3°) En exploitant les calculs précédents et avec un peu d'imagination caractériser l'ensemble des points survolés par le satellite.

III QUESTIONS DIVERSES INDEPENDANTES (9.5 points)

1°) (0.5 point) A une latitude de 20°, sous quel azimut absolu faut-il tirer pour obtenir un plan orbital confondu avec l'écliptique?

2°) (1.5 point) Une manœuvre d'apogée doit relever le périgée 200 km/sol d'une orbite GTO équatoriale, pour le faire passer à 3200 km/sol . Quel est l'incrément de vitesse DV nécessaire ?

Avec une masse totale ( moteur+satellite) de 6500 kg et une Isp=4400 m/s, calculer la masse d'ergols nécessaires..

3°) (1 point) Pour Mars, à 4000 km du centre, quelle est la troisième vitesse cosmique qui permet tout à la fois une libération de Mars et une fois hors sphère d'influence une LIBERATION PAR RAPPORT AU SOLEIL.

Constante de gravitation de Mars 4.305 104 km3s-2, celle du Soleil 13.27 1010 km3s-2.

4° ) (3 points) QUESTION IMPORTANTE :

Un tir géocentrique est réalisé avec les conditions de tir absolues suivantes. Rayon vecteur ro = 6578 km, Vitesse absolue Vo = 10.25 km/s, pente absolue go = 0°, latitude lo = 0°, Longitude Greenwich Lo = 0°, azimut 135°, date 7/11/2005 14 h 52 mn 24 s.

Où est le périgée?

Préciser les nœuds.

Combien vaut l'argument nodal du périgée w? Intérêt?

Pourriez-vous donner un qualificatif à cette orbite?

Donner l'inclinaison orbitale. I

Calculer la longitude vernale W de la ligne des nœuds.

5°) (0.5 point) Quelle est la période d'une orbite héliosynchrone inclinée de 98°.7? Commentaire?

6°) (3 points) NB : Tous les termes de la question sont importants.

Un tir interplanétaire à Z = 422 km du sol terrestre de vitesse relative 11.545 km/s, avec injection plein Est à 23°.5 de latitude, avec la vitesse à l'infini en sens contraire de la vitesse d'entraînement de la Terre( à 150 millions de km du soleil), autour du Soleil. Quel est le périhélie du transfert interplanétaire ainsi obtenu ? Peut-on atteindre Vénus à 108 106 km du Soleil. Illustrer par un ou deux dessins.

___________________ FIN ____________________

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